Le modèle holographique généralisé, partie I : le principe holographique

^{Image credit: LucasFilms}

^{Par Dr Inés Urdaneta, physicienne à la Resonance Science Foundation}

Le principe holographique est l'une des premières introductions de l'idée que l'information peut être présente de manière holographique dans certaines structures de l'univers - à savoir les trous noirs. À ce stade, le lecteur commencera probablement à remarquer comment le récit scientifique est passé progressivement et très subtilement de termes tels que énergie, forces, particules et champs, à ce mot : information.

Lorsque nous pensons à l'information, nous pensons aux ordinateurs, à la programmation et aux bits d'information, exprimés par des valeurs de 0 ou 1 dans un système binaire. Tout cela n'est qu'un sous-ensemble d'un domaine plus vaste appelé la "théorie de l'information", dont le but est d'expliquer toutes les caractéristiques de la réalité comme émergeant de l'échange d'informations et de ses propriétés.

Cet article explore plus avant le sujet, en donnant un bref aperçu de l'histoire et du développement du principe holographique à l'origine du concept fondamental du modèle holographique généralisé développé par Nassim Haramein [1-3], qui donne une solution quantifiée à la masse et à la gravité.

^{Entropie et thermodynamique d'un trou noir}

Le principe holographique trouve son origine dans les travaux de David Bohm [4] [5], qui a suggéré que chaque région contient en elle une "structure" totale. Bohm a assimilé cette idée à la structure de l'Univers, qu'il a qualifiée d'hologramme, sur la base de son analogie avec l'holographie optique.

Cette "structure" contenue dans chaque région ou volume peut également être décrite en termes de contenu d'information, ce qui la relie à l'entropie, puisque du point de vue de la théorie de l'information, l'entropie est une mesure du contenu en information d'un système.

Lorsque ces idées sont appliquées aux trous noirs, nous rencontrons le problème suivant : selon la conception courante, il est impossible d'accéder directement au contenu d'un trou noir, car tout ce qui passe sa porte y est "piégé" à l'intérieur. Par conséquent, dans cette optique, un observateur externe est limité par l'impossibilité apparente d'accéder à la dynamique et au contenu du trou noir. Cela a empêché les physiciens de s'intéresser à l'intérieur des trous noirs et l'on ne sait pas très bien ce qu'il advient des informations qui y tombent. On a supposé que l'information qui tombe dans un trou noir est perdue, mais cela violerait les lois de la théorie  quantique qui stipule que l'entropie ou l'information ne peuvent être détruites. Cela établit ce que l'on appelle le paradoxe de l'information que Stephen Hawking, entre autres, a tenté de résoudre depuis lors.

Pour répondre à ces questions, Bekenstein a proposé que l'entropie ou l'information dans une région donnée de l'espace est limitée par la surface de sa frontière, ce qui semblait résoudre le problème car cette frontière est accessible à un observateur externe. Par conséquent, toute l'information contenue dans le volume pourrait être accessible à partir de la surface puisqu'elle y serait imprimée de manière holographique. Bekenstein a proposé [6][7][8] que l'entropie S ou l'information contenue dans un volume d'espace donné, tel qu'un trou noir, est proportionnelle à la surface de son horizon A, exprimée en unités carrées de l'aire de Planck l², comme suit :

Ensuite, après des calculs supplémentaires tenant compte de la thermodynamique et de l'entropie des trous noirs (voir l'annexe A à la fin de cette section pour une explication plus détaillée), l'entropie de Bekenstein-Hawking d'un trou noir exprimée en unités d'aire de Planck a été définie comme suit

où l'aire de Planck est le carré de l'aire l² pris comme une unité d'entropie et A est l'aire de la surface du trou noir.

Bekenstein [9] a également soutenu l'existence d'une limite supérieure universelle pour l'entropie d'un système arbitraire avec un rayon maximal r,

où E est le contenu énergétique, ħ (également connue comme constante de Planck réduite) est ħ = h/2π et c est la vitesse de la lumière dans le vide. En considérant E = mc² , il a découvert que cette limite maximale est équivalente à l'entropie de Bekenstein-Hawking pour un trou noir.

Cette idée d'une entropie maximale définie par Bekenstein associée à des arguments de conservation de l'énergie, a finalement conduit à un principe holographique décrit par 't Hooft [10] [11] [12] et développé ultérieurement par Susskind [13]. En étudiant les caractéristiques mécaniques quantiques des trous noirs et la troisième loi de la thermodynamique reliant l'entropie au nombre total de degrés de liberté (le nombre de façons indépendantes dont un système dynamique peut se déplacer sans violer aucune contrainte qui lui est imposée), 't Hooft a montré que l'entropie compte directement le nombre de degrés de liberté binaires (appelés formellement degrés de liberté booléens, prenant les valeurs 0 ou 1) et a conclu que les degrés de liberté pertinents d'un trou noir ne doivent pas dépasser 1/4 de la surface totale et que l'entropie maximale d'un trou noir est donc A/4.

C'est-à-dire “qu'une région dont la surface limite a une aire A est entièrement décrite par pas plus de A/4 degrés de liberté, soit environ 1 bit d'information par aire de Planck". Voir l'image ci-dessous pour plus de clarté.

Cependant, comme l'a noté Bousso [12], le contenu en information du volume dépassera celui de la surface pour tous les systèmes plus grands que l'échelle de Planck (par exemple, pour un proton, le contenu en information du volume - nombre de PSUs dans le volume - est plus grand que le contenu en information de la surface - PSUs à la surface - par un facteur de 10²⁰). Ainsi, le résultat obtenu lorsque seule la surface est considérée est en contradiction avec le nombre beaucoup plus important de degrés de liberté estimé lorsque le volume est considéré. La question se pose donc de savoir si l'entropie de Bekenstein-Hawking compte tous les états booléens à l'intérieur d'un trou noir ou seulement ceux qui sont distinguables par l'observateur extérieur.

_{^{L'approche holographique généralisée de Nassim Haramein}}

Comment pourrions-nous rendre compte de l'information contenue dans un volume auquel, en principe, on ne peut accéder ? Nous ne sommes peut-être pas en mesure de pénétrer dans un trou noir, mais si nous connaissons la surface et donc le rayon du système, nous pouvons certainement estimer les degrés de liberté à l'intérieur, en définissant une unité de volume.

Dans ces travaux [1] [2] [3], Haramein a défini une unité de volume sphérique ou voxel pour quantifier l'espace qu'il a appelé l'unité sphérique de Planck (PSU), qui est l'unité fondamentale d'énergie. La PSU représente un quantum d'oscillation électromagnétique et représente également un bit d'information. Un bit est une unité d'information, qui peut être la position ou la direction d'une particule, dans ce cas, d'une PSU.

L'approche holographique généralisée de Nassim Haramein donne une solution quantifiée à la masse et à la gravité en termes d'unités sphériques de Planck (PSU). Son idée est résumée dans la figure ci-dessous, où r_l est la moitié de la longueur de Planck l et r est le rayon de toute sphère plus grande que les PSU.

^{Image reproduite avec l'aimable autorisation du Dr. Amira Val Baker.}

L'approche de Haramein décrit le système considéré (tel qu'une PSU, un proton, un électron ou l'Univers) comme un objet sphérique, et cette approximation de premier ordre s'est avérée être une très bonne hypothèse. Le fait de paver la surface et de remplir le volume d'un tel système sphérique avec ces PSU donne la figure ci-dessus, qui montre également les expressions pour les densités de surface et de volume par rapport aux PSU.

Le nombre de PSU pouvant paver la surface de l'objet sphérique considéré est exprimé par la lettre grecque eta (η) représentant une densité de surface qui donne le contenu en information de la surface en termes de PSU. Pour calculer η, il faut diviser l'aire de la surface de l'objet, A (= 4π r²), par l'aire équatoriale d'un PSU π r_l ² de rayon r_l qui est la moitié de la longueur de Planck l (l = longueur). En notation mathématique, cela s'écrit r_l = l / 2. Comme dans le cadre de la théorie de l'information l'entropie est une mesure du contenu en information d'un système, η est également associé à l'entropie de surface.

En outre, nous pouvons trouver la densité volumique ou le contenu en information (c'est-à-dire l'entropie) à l'intérieur du volume du système sphérique en divisant son volume (représenté par la lettre V) par le volume d'un PSU. Cela permet de calculer le nombre de PSU pouvant remplir le volume V, quantité que nous représentons par la lettre R. Le volume d'un objet sphérique de rayon r est V = (4 /3)  et la même formule permet de calculer le volume d'une PSU en utilisant son rayon r_l.

Avec ces densités très simples que nous avons nommées entropie de surface η et entropie de volume R, nous obtenons le rapport holographique fondamental ɸ = η / R représenté sur la figure ci-dessus, qui est un rapport (ou ratio) non dimensionnel qui exprime l'entropie surface/volume et représente le potentiel du transfert d'information ou le taux d'échange d'information entre le volume et la surface du système sphérique. Ce rapport holographique ɸ est le concept primaire de la théorie holographique généralisée. Les solutions holographiques généralisées présentées dans le module 4 prouvent que c'est ce rapport qui explique l'émergence de caractéristiques telles que la masse et la gravité.

Il est donc clair que les degrés de liberté à l'intérieur du système sphérique peuvent et doivent être pris en compte, afin d'obtenir les valeurs correctes pour la masse du système. Comme nous le montrerons dans l'article suivant, le contenu informationnel du volume - nombre de PSU dans le volume - pour un proton est supérieur au contenu informationnel à sa surface - PSU à sa  surface - d'un facteur 10²⁰.

La perspective de la RSF

En résumé, nous voyons que le principe holographique dérivé par l'approche dominante se limite à la surface ou à la frontière d'un trou noir, négligeant le contenu informationnel du volume, même si celui-ci ne peut pas être entièrement codé à la surface. Nous avons vu au début de cette sous-section que l'approche de Haramein considère également l'information du volume.

La nature de l'holographie, le principe holographique et l'entropie maximale d'un trou noir sont ainsi approfondis par Haramein, qui propose une approche holographique généralisée en termes d'entropie de surface et de volume d'un système sphérique [1] [2]. De cette façon, le paradoxe de l'information est résolu. Nous donnons un bref aperçu de cette approche et de ses résultats dans la section suivante.

Si le lecteur souhaite approfondir la physique et les équations du principe holographique expliqué dans cette section, il peut consulter l'annexe A ci-dessous.

 

Annexe A

Étant donné qu'un trou noir obéirait également aux lois de la thermodynamique, son entropie ou information totale (celle de sa surface additionée à celle de son volume) obéirait à la deuxième loi de la thermodynamique générale dans laquelle l'entropie de la surface du trou noir plus l'entropie de son intérieur ne diminue jamais.

Cette relation entre la physique du trou noir et sa thermodynamique existe également entre la première loi de la mécanique du trou noir et la première loi de la thermodynamique. 

La première loi de la mécanique du trou noir :

donne la masse M en fonction de la gravité de surface κ, de l’aire de surface A, de la vitesse angulaire Ω, du moment angulaire J, du potentiel électrostatique Φ, de la charge électrique Q et de la constante gravitationnelle G à laquelle elle est inversement proportionnelle. Remarque : pour un trou noir de Schwarzschild, le moment angulaire J et la charge électrique Q sont fixés à zéro. Cela signifie que ce cas particulier de trou noir ne tourne pas et n'a pas de charge, ce qui n'est qu'une situation idéalisée qui nous permet de résoudre certaines équations de manière analytique (en réalité, tous les trous noirs tournent car ils sont formés de systèmes qui tournent et le moment angulaire se conserve toujours et comme nous l'avons mentionné tout au long de ce cours, le spin est inhérent à l'espace).

Alors que la première loi de la thermodynamique détermine l'énergie d'un système en fonction de sa température T, de son entropie S, de sa pression P et de son volume V à l'aide de l'équation ci-dessous, et où dE, dS et dV expriment la variation infinitésimale de chacun :

Lorsque la charge est nulle, le dernier terme de l'équation (3) devient égal à zéro, et nous pouvons clairement voir l'analogie entre l'équation (3) et l'équation (4), comme expliqué dans la figure ci-dessous.

Les valeurs A et κ du trou noir sont en analogie étroite avec respectivement, l'entropie E et la température T. Ainsi en mettant en équation les premiers termes du côté droit de chaque équation (Eq. (3) et Eq. (4)), Bardeen, Carter et Hawking [9] ont pu montrer que;

Ensuite, Hawking a prédit en 1974 l'émission spontanée de rayonnement thermique du trou noir (provenant de la conversion des fluctuations quantiques du vide en paires particule-antiparticule) avec une température donnée par [10] [11] :

où k_B est la constante de Boltzmann et τ_k est la durée de vie caractéristique de l'impulsion lumineuse émise par la matière entrante et est considérée comme le temps nécessaire à la lumière pour parcourir une distance de 2r_S, où r_S  est le rayon de Schwarzschild (le rayon de Schwarzschild est obtenu en résolvant les équations de champ d'Einstein pour un trou noir non rotatif, dont la charge est nulle et décrit comme un corps sphérique. Le rayon de Schwarzschild est considéré comme la limite ou la frontière du trou noir ; à l'intérieur de ce rayon, rien ne pourrait s'échapper).

Nous pouvons substituer la définition ci-dessus de la température de Hawking Eq. (6) et inclure un facteur c² / k_B  afin que l'entropie puisse être donnée en unités sans dimension comme suit,

où l² remplace (G h)/c³ comme indiqué dans la définition de la longueur de Planck.

Note au lecteur : Cet article fait partie du module 7, section 7.1.2 du cours gratuit de science unifiée, auquel vous pouvez accéder par ce lien de la Resonance Academy. 

Références

[1] N. Haramein, Phys. Rev. Res. Int. 3, 270 (2013).

[2] N. Haramein, e-print https://doi.org/10.31219/osf.io/4uhwp (2013).

[3] N. Haramein and A. K. F. Val Baker, Journal of High Energy Physics Gravitation and Cosmology 5, 412 (2019).

[4] D. Bohm, B. J. Hiley and A. E. G. Stuart, Int J Theor Phys 3, 171 (1970).

[5] D. Bohm, Wholeness and the Implicate Order (Routledge, London, 1980).

[6] J. D. Bekenstein, Nuovo Cim. Lett. 4, 737 (1972).

[7] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973).

[8] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 9, 3292 (1974).

[9] J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 23, 287 (1981).

[10] G. 't Hooft, e-print arXiv:gr-qc/9310026 (1993). 

[11] G. 't Hooft, in Basics and Highlights in Fundamental Physics (Proceedings of the International School of Subnuclear Physics, Erice, Sicily, Italy, 2000)

[12] R. Bousso, Rev. Mod. Phys. 74, 825 (2002).

[13] L. Susskind, J. Math. Phys. 36, 6377 (1995).